[Algorithm] 위상정렬

 

1. 위상 정렬?

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미한다.
• 시간 복잡도는 O(V+E)
• 예시 -> 학교 커리큘럼과 같이 선수과목을 고려하여 학습 순서 결정
• 아래 그림에서 세 과목을 모두 듣기 위해 적절한 학습 순서는
  • 자료구조 -> 알고리즘 -> 고급 알고리즘

 

 

2. 차수

• 진입차수(Indegree) 
  
  • 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출차수(Outdegree)
  • 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수
• 위 그림에서
  • 자료구조 -> 진입차수 0, 진출차수 2
  • 알고리즘 -> 진입차수 1, 진출 차수 1
  • 고급알고리즘 -> 진입차수 2, 진출차수 0

 

3. 구현

• 큐를 이용하여 위상 정렬 알고리즘을 구현할 수 있다.
  1. 입력을 받으며 각 노드별로 진입차수를 + 해준다.
  2. 진입 차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣은 후
  3. 큐가 빌 때까지 아래의 과정 반복
     1. 큐에서 원소를 pop한 후 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거 
     2. 해당 간선의 도착 노드의 진입차수 -= 1
     3. 새로 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

 

4. 동작 및 주의 사항

• 위상 정렬의 경우 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)여야 한다.
• 사이클이 존재하는 경우 -> 위상정렬을 한 리스트의 길이가 모든 노드의 수보다 작다

• 처음에 진입 차수가 0인 모든 노드들을 큐에 넣는다.

for i in range(N):
	if degree[i] == 0:
    	q.append(i)

 

• 위 그림에서는 노드 1이 큐에 삽입 된다.
• 이후 while문을 돌려주면서 노드 1을 꺼내주고 노드 1에서 나가는 간선을 제거한다.
• 1에 연결된 2와 5의 진입차수 또한 0 이므로 큐에 삽입

• 2를 꺼내주고 3과 6이 들어가는 것이 아닌, 6의 경우 진입차수가 2였으므로 -1을 해준다.
• 5를 꺼내주며 6의 진입차수 - 1을 한다면 진입차수가 0이 되므로 큐에 삽입
• 위 과정을 반복
• 결과 -> 1 2 5 3 6 4 7의 순서로 큐에 삽입된다.

 

5. 특징

• 위상 정렬은 DAG(Direct Acyclic Graph) : 순환하지 않는 방향 그래프에서만 수행할 수 있다.
• 여러 가지 답이 존재 가능
• 모든 원소 방문 전 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단 가능

 

 

예시 코드

전체 코드

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()