[백준 2098번] 파이썬 - 외판원 순회

http://www.acmicpc.net/problem/2098

2098번: 외판원 순회

 

 

# 조건

 

시간 제한 1초, 메모리 제한 128MB

• 외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다.
• 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.
• 1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다)
• 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다.
  • 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외)
  • 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.
• 각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다.
• W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다.
  • 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다.
• 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다.
• W[i][i]는 항상 0이다.
• 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

• 첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16)
• 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다.
• 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.
• 항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

 

# 접근 방법

• 기존 외판원 문제처럼 브루트포스를 이용한다면 시간초과가 발생할 것이다.
• 따라서, dfs를 돌리며 경로를 이어나가면 되는데
  • dp를 이용하여 경로의 최소값을 메모이제이션해준 후
  • 비트마스크를 이용해서 방문 기록을 처리해준다.
• 아무 노드에서나 출발하여도 모든 노드를 검사할 수 있으므로 출발지는 신경 쓰지 않아도 된다.
•  D[i][A] 는 i에서 출발지까지 [A] 집합에 속한 점들을 지나서 가는 경로이다.
  
  비트를 이용한 A 집합을 나타낸 그림

import sys  
sys.stdin = open('input.txt')  
input = sys.stdin.readline  
  
  
  
N = int(input())  # 도시의 수  
W = [list(map(int, input().split())) for _ in range(N)]  
dp = [[0] * (1 << N-1) for _ in range(N)]  # 도시가 4개라면 1000(각 자리수별로 도시 표시) == 2**n  
def tsp(i, route):  
    if dp[i][route] != 0:  
        return dp[i][route]  
  
    # 출발하는 도시를 0으로 정했기 때문에 모든 경로를 돌았을 때, 현위치(i)에서 0으로 갈 경우 추가  
    if route == (1 << (N-1)) - 1:  
        if W[i][0]:  
            return W[i][0]  
        else:  
            return float('inf')  
  
    min_route = float('inf')  
  
    for j in range(1, N):  
        if not W[i][j]:  # i에서 j로 가는 간선 비용이 없다면  
            continue  
        if route & (1 << j-1):  # 해당 도시를 방문했다면  
            continue  
        D = W[i][j] + tsp(j, route | (1 << (j-1)))  # i -> j 간선 + j에서 다음 경로로 가는 간선  
        if min_route > D:  
            min_route = D  
    # 루트가 모든 도시를 순회할 때까지 완전탐색하기 때문에 최소값 계속 갱신  
    dp[i][route] = min_route  
  
    return min_route  
  
print(tsp(0,0))  # 순서는 상관X 사이클의 최소비용을 구하면 되기 때문에 임의의 도시 0에서 시작